第二类间断点(两类间断点的定义)

让我们深入函数中的间断点。间断点大致可分为两种类型：第一类间断点和第二类间断点。它们在函数的定义和行为上有着明显的区别。

我们关注第一类间断点，也被称为可去间断点。这类间断点的特性在于函数在该点的左极限和右极限都存在且相等，但它们并不等于函数在该点的值或者函数在该点没有明确的定义。这就像是在函数图像上的一处微小瑕疵，可以通过重新绘制来修复。以函数y=(x²-1)/(x-1)为例，在x=1这一点上就存在一个可去间断点。

接下来是第二类间断点，也被称为跳跃间断点。这类间断点的特征在于函数的左极限和右极限存在，但它们并不相等。这种情况在函数图像上表现为明显的跳跃或断层。以函数y=|x|/x为例，在x=0处就可以观察到跳跃间断点的存在。

除了这两类间断点，还有一类特殊的间断点——无穷间断点。这类间断点的特点是函数在该点可能没有定义，并且左极限或右极限至少有一个为无穷大。例如，函数y=tanx在x=π/2处就存在一个无穷间断点。

接下来，我们来函数的连续与非连续定义。如果函数y=f(x)在点x0的某个去心邻域内有定义，并且当x趋向于x0时，函数的极限存在并且等于该点的函数值f(x0)，那么我们就可以说函数在x0处是连续的。这就像是一条线在图纸上延伸，没有断裂或缺口。

反之，如果函数在点x=x0没有定义，或者在x趋向于x0时函数的极限不存在，或者函数的极限存在但不等于该点的函数值，那么我们就可以说函数在x0处是不连续的，或者说存在间断。这就像是一条线在图纸上被切断，无法顺畅连接。理解这些概念对于掌握函数的性质至关重要。