矩阵运算公式大全(行列式的四则运算法则)

行列式及其特性

行列式，一个数学中的基本概念，其转置行列式与其本身相等。当我们交换行列式的两行，行列式的值会取相反数。如果我们对行列式的某一行的所有元素乘以同一数k，整个行列式的值就像被这个数k乘过一样。但如果行列式中有两行元素成比例，那么整个行列式的值为零。

关于行列式的运算规则，我们可以列举以下几点：

1. 三角形行列式的值等于其对角线元素的乘积。为了得到这个值，我们常常需要通过多次运算将行列式转化为上三角型或下三角型。

2. 交换行列式中的任意两行，行列式的符号会发生变化。

3. 行列式中某行（列）的公因子可以提取出来，放到行列式之外。

4. 如果我们将行列式的某一行乘以一个数a，然后加到另一行，行列式的值不会改变。这一规则常常用于消去某些元素。

5. 如果行列式中两行（列）完全相同，那么行列式的值为0。同样，如果两行（列）成比例，行列式的值也为0。

6. 行列式的展开值等于其中某一行（列）的每个元素与其代数余子式的乘积的和。如果求的是另一行（列）的元素与本行（列）的代数余子式的乘积和，那么总和为0。

7. 在求解代数余子式相关问题时，我们可以对行列式进行值替代。

8. 克拉默法则是一个利用线性方程组的系数行列式来求解方程的法则。

9. 齐次线性方程组是线性方程组的一种特殊情况，其等式右侧的常数项全部为0。齐次线性方程组一定有零解，但不一定有非零解。当它的系数行列式D=0时，存在非零解；当D不等于0时，方程组只有零解。

这些特性和规则构成了行列式的基本框架，帮助我们更好地理解和计算行列式，从而解决更为复杂的数学问题。