偏导数存在的条件(可偏导的条件是什么)

让我们一个具有二元函数特性的z=f(x，y)。在此函数的定义域D内，有一个特定的点(x0，y0)。当我们将y固定在y0，并让x在x0处产生微小的增量△x时，我们的函数z=f(x，y)会产生一个增量，我们称之为对x的偏增量△z。这个偏增量计算为f(x0+△x，y0)-f(x0，y0)。

当我们让△x逐渐趋近于零时，如果△z与△x的比值的极限存在，那么这个极限值就称为函数z=f(x，y)在点(x0，y0)处对x的偏导数。这个偏导数具有特殊的记号，记作f'x(x0，y0)。也就是说，它代表了函数在点(x0，y0)处当仅x变化时，函数值的变化趋势。

同样的逻辑也适用于y。如果我们把x固定在x0，然后让y产生增量△y，并当△y趋近于零时，极限存在的话，那么这个极限就是函数z=(x，y)在点(x0，y0)处对y的偏导数。记作f'y(x0，y0)。这表示了在特定点处，当仅改变y值时函数值的变化率。

值得注意的是偏导数的性质中有一个重要的区别：f"xy与f"yx。这两者表示的是求导的顺序不同。前者是先对x求偏导然后将结果再对y求偏导；而后者则是反过来，先进行对y的求导再对x进行求导。当这两个偏导数都存在且连续时，求导结果的顺序就不再重要了。

假设f(x)在区间[a，b]上连续并且在（a，b）内具有一阶和二阶导数。我们可以通过偏导数f''(x)的值来预测函数的图形特性。如果在（a，b）内f''(x)大于零，那么我们可以确定在整个区间[a，b]上函数图形是凹的；相反如果f''(x)小于零，则函数图形是凸的。这意味着通过一阶和二阶导数我们可以获取函数的局部特性并为图像描绘提供重要的线索。