微分方程的通解

一阶线性微分方程形如 y′ + P(x)y = Q(x)，其通解为：

y = e−∫P(x)dx ( ∫Q(x)e∫P(x)dxdx + C )，此公式为求解这类方程的一般法则。每当面临此类问题时，我们都可以按照这一公式进行求解。

对于二阶常系数齐次方程，形如 y″ + py′ + qy = 0，它的解法需要依赖特征方程 r² + pr + q = 0 的根的情况：

1. 当特征方程有两个不相等的实数根 r₁ 和 r₂ 时，方程的通解为 y = C₁e^r₁x + C₂e^r²x 。其中 C₁ 和 C₂ 是积分常数。

2. 当特征方程有两个相同的实数根（即重根）r时，方程的通解为 y = (C₁ + C₂x)e^rx 。这是重根带来的特殊情况。

3. 当特征方程有一对共轭复根 α ± βi 时，方程的通解为 y = e^αx ( C₁cosβx + C₂sinβx ) 。这两类复数根带来的通解形式使得方程的解更加复杂。

对于可分离变量的微分方程，形如 dy/dx = f(x)g(y)，其通解形式为：通过对方程两边同时积分得到。例如面对形如 dy/dx = x + y 的方程时，我们可以通过此种方式进行求解。再举一例，形如 y″ + 4y′ + 4y = 0 的二阶方程，我们可以利用前述的二阶常系数齐次方程的解法进行处理。只要给出具体的微分方程形式，我们就可以针对该方程的具体形式寻找相应的解决策略，进而求解其通解。若您需要进一步的求解或者面临特定的微分方程难题，只需告知具体的方程形式即可进一步求解其通解。