复合函数求导(复合函数导数公式大全)

复合函数求导与性质

你是否曾经遇到过复杂的函数，让你在求导或理解其性质时感到困惑？今天，让我们一起深入了解复合函数的求导法则及其性质。

一、复合函数求导法则

设想一个复合函数，它由两部分组成：一个是y=f(u)，另一个是u=g(x)。那么，对于这样的复合函数，我们如何求导呢？

规则如下：

1. 设u=g(x)，对f(u)求导，得到f'(x)=f'(u)g'(x)。

2. 若还有一个中间变量a=p(u)，对f(a)求导，则f'(x)=f'(a)p'(u)g'(x)。

通过这两个规则，我们可以求解许多复合函数的导数。例如：

例1：y=Ln(x^3)。这里，Y=Ln(u)，U=x^3。求导后得到y′=f(u)′g(x)′=[1/Ln(x^3)](3x^2)。

例2：y=cos(x/3)。这里，Y=cosu，u=x/3。根据复合函数求导法则，我们得到y=-sin(x/3)/3。

二、复合函数的性质

复合函数的性质是由构成它的函数性质所决定的。主要包括以下几点：

1. 单调性规律：如果函数u=g(x)和y=f(u)的单调性相同，则复合函数y=f[g(x)]为增函数；如果它们的单调性不同，则为减函数。

2. 奇偶性规律：如果函数g(x)和f(x)的定义域都关于原点对称，且它们都是奇函数或偶函数，那么y=f[g(x)]遵循相应的奇偶性规律。即，两个奇函数的复合是奇函数，两个偶函数的复合或一奇一偶的复合是偶函数。

理解这些性质和规则后，我们就可以更轻松地处理复杂的函数问题。无论是求导还是分析性质，我们都能更加得心应手。希望这篇文章能帮助你更好地理解复合函数的求导与性质。