x的二分之一次方图像

绘制函数 \( y = x^{\frac{1}{2}} \) （即 \( y = \sqrt{x} \) ）的图像，首先要明确其定义域为 \( x \geq 0 \)，值域为 \( y \geq 0 \)，因此图像位于第一象限。

一、关键点分析：

1. 原点 (0, 0) 是此函数的起点，当 \( x = 0 \) 时，\( y = 0 \)。

2. 当 \( x = 1 \) 时，函数值为 \( y = 1 \)，对应于点 (1, 1)。

3. 当 \( x = 4 \) 和 \( x = 9 \) 时，函数分别经过点 (4, 2) 和 (9, 3)。

二、单调性分析：

此函数的导数 \( y' = \frac{1}{2\sqrt{x}} \) 在定义域内始终为正，说明函数在 \( x \geq 0 \) 的范围内是单调递增的。随着 \( x \) 的增大，导数值减小，函数的增速逐渐放缓。

三、凹性分析：

函数的二阶导数 \( y'' = -\frac{1}{4}x^{-\frac{3}{2}} \) 在 \( x > 0 \) 时为负，表明该函数具有向下凹的特性。

四、渐近线分析：

此函数没有水平或斜渐近线，因为当 \( x \) 趋近于正无穷时，\( \sqrt{x} \) 无限增长。

五、对称性：

作为 \( y = x^2 \) （在 \( x \geq 0 \) 的部分）的反函数，\( y = \sqrt{x} \) 的图像关于直线 \( y = x \) 具有对称性。

六、切线分析：

在原点处，函数的切线垂直（与 y 轴重合）。随着 \( x \) 的增大，切线的斜率逐渐减小，曲线趋于平缓。

函数 \( y = \sqrt{x} \) 的图像是一个从原点出发，在第一象限内向右上方延伸的曲线。这条曲线经过关键点 (1, 1)、(4, 2)、(9, 3) 等，呈现出向下凹的形状。