谁的导数是arctanx

深入数学世界的奥秘，我们常常借助积分与导数这些高级工具。对于给定的函数形式，我们一步步进行和计算，揭示其背后的深层含义。

假设u = arctanx，dv = dx。经过计算，我们得到du = \\(\\frac{1}{1+x^2}\\)dx，而v则等于x。接下来，我们将这些元素代入分部积分公式中。

公式展现的是对\\(\\arctan x\\)的积分，其结果为\\(x \\arctan x\\)。我们还需要计算另一个积分∫\\(\\frac{x}{1+x^2}\\) dx。为了解决这个问题，我们采用代换法，令t = 1 + x²。这样，dt = 2x dx，那么x dx就可以表示为\\(\\frac{dt}{2}\\)。

接下来，积分变形为\\(\\int \\frac{1}{t} \\, dt\\)。对其进行求解，我们得到\\(\\frac{1}{2} \\ln|t| + C\\)，进一步化简就是\\(\\frac{1}{2} \\ln(1+x^2) + C\\)。这个结果恰好是我们要找的积分值。

将上述积分结果代回分部积分公式，我们得到完整的答案。为了验证这个结果是否准确，我们对它进行求导操作。经过严格的数学推导，我们发现其导数确实等于原始的arctanx函数。我们确认了这个结果是正确的。我们得出结论：函数形式为\\(x \\arctan x - \\frac{1}{2} \\ln(1+x^2) + C\\)。这是通过严格的数学推导得出的结论，充分展示了数学的严谨与逻辑之美。

这个过程既包含了数学的精确计算，也展现了逻辑思维的力量。通过不断推导和验证，我们得到了最终的结果，这是数学世界的魅力所在。