经济数学基础12

一、函数的世界与极限的

1. 函数的定义域

例题：对于函数 $y = \frac{1}{\sqrt{x+1}}$，它的定义域是那些x值使得分母和根号内的表达式 $x+1$ 大于零。这意味着x的取值要大于-1，因此函数的定义域为 ${ x \mid x > -1 }$。

2. 极限的计算奥秘

掌握一个重要极限：$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$（选项B）。当 $x \to 0$ 时，$\ln(1+x)$ 是一个典型的无穷小量。

二、导数与微分的旅程

1. 导数的计算之旅

例题：简单的函数 $y = x^2$ 在 $x=1$ 处的导数是多少呢？经过计算，我们发现答案竟是 2（选项B）。对于复合函数如 $f(x) = e^{2x}$，其导数 $f'(x) = 2e^{2x}$。

2. 极值与单调性的

判断函数的单调性，例如函数 $y = x^3 - 3x$ 在区间 $(- \infty, -1)$ 单调减少，而在 $(1, +\infty)$ 单调增加。再寻找函数 $y = xe^x$ 的极小值点，发现它位于 $x = -1$ 处。

三、积分之旅与应用

1. 不定积分与定积分的奥秘

理解原函数与不定积分的关系，例如如果 $f(x)$ 的原函数是 $x^2$，那么 $f(x) = 2x$（选项A）。定积分的计算，如 $\int_0^1 x^2 dx = \frac{1}{3}$（选项B）。

2. 积分的经济应用

边际成本与利润的关系，例如某产品的总成本函数为 $C(q) = 200q + 0.05q^2$。当产量 $q=100$ 时，边际收入达到1950元。为了优化利润，我们需要考虑固定成本、边际成本以及产量与总成本的关系。

四、线性代数与方程的世界

1. 矩阵运算的魔法

矩阵运算的奥秘，例如给定矩阵 $A = \begin{pmatrix}1 & 2 \ 3 & 4\end{pmatrix}$ 和 $B = \begin{pmatrix}2 \ 1\end{pmatrix}$，解矩阵方程 $AX = B$ 需要通过计算 $X = A^{-1}B$ 来找到答案。

2. 线性方程组的解

理解齐次和非齐次线性方程组的一般解，通过行变换将矩阵化为阶梯形式来找到自由变量并表示通解。非齐次方程组解的存在性，这通常涉及到系数矩阵与增广矩阵的秩的关系。

五、形考任务重点解读（参考2024版）

重要的任务包括：函数的定义域、单调性和导数的基础计算；积分的应用以及经济中的边际问题；矩阵运算和线性方程组的求解；以及综合应用题，如利润最大化、成本优化等。请注意，以上内容是基于形考任务题库，题目选项可能存在变体，建议结合具体教材进行学习和验证。